Hipótesis Jacobiana
Un ejercicio de gimnasia mental para economistas inspirado en
las enseñanzas del Dr. Barba-Romero Casillas
Carlos Díaz Gómez
carlos_diazgomez@yahoo.com
Sea
F(x1 , x2) = 1 = x1
x2
x1 x2 = 1
x1 = 1/x2
"Empecemos con un sistema dinámicoNOTA 1 tan sencillo que casi da
vergüenza llamarle sistema".
No sin antes referirnos a "Why Johnny Hates Math",
pequeño papel escrito en 1956 por Karl Menger, y que podrán encontrar en Selected
papers in logic and foundations, didactics, economics, en nuestra Biblioteca
de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad de Alcalá,
antigua y primera Universidad Complutense.
J (d F/d x1 , d F/d x2)
= (x2 , x1)
Una vez definida y calculada la matriz jacobiana, la evalúo en un puntoNOTA2 que satisfaga el sistema, esto es, un
punto que satisfaga ambasNOTA3
ecuaciones –que no identidades– simultáneamente. (Aunque parezca la
misma ecuación escrita de dos formas distintas y no un sistema de dos ecuaciones, vea lo
que sucede cuando x2 vale 0).
Me importa señalar una noción fundamental en matemáticas y que en
economía ha de estar siempre nítida, so pena de perecer, no sólo en nuestros exámenes,
sino también en nuestras disquisiciones teóricas posteriores. La aclaración y el
excelente ejemplo se los debo, para mi fortuna, al libro del profesor E. Costa Matemáticas
para economistas. Se trata de la distinción entre ecuación –afirmación
matemática que se satisface, cuando tiene solución, para cierto o ciertos valores, que
pueden ser infinitosNOTA4
o ningunoNOTA5–
e identidad –objeto matemático de apariencia similar, casi idéntica, y sin
embargo, de naturaleza o propiedades muy distintas-. Se diferencian en poco –alguien
podría decir–, mas aquello que las distingue es de enorme trascendencia, y por
tanto, lo poco es aquí, como en casi todo, mucho. Del mismo modo, alguien podría decir
que entre acertar y fallar cuando se lanza una bala no hay tanta diferencia, si se
considera que en ambas acciones se dispara la pistola y sale despedido el proyectil. Sin
embargo, si nuestra vida depende del acierto, la diferencia, que desde un cierto punto de
vista es pequeña, e incluso mínima, lo es todo. Un ejemplo similar es de aplicación a
las situaciones "casi quedarse embarazada", "casi perder un millón de
dólares" o "casi ser arrollado por un autobús cuando se camina distraído por
la gran ciudad". Nótese, por tanto, que lo pequeño o marginal puede ser
decisivo en las cosas humanas, y así en las económicas. Puesto que la dimensión
económica, como la dimensión filosófica o la jurídica, nos pertenece con independencia
de nuestra voluntad. Y es, por tanto, no ya importante, sino imprescindible dedicarles
nuestro tiempo y nuestra atención.
Pues bien,
Y = DA NOTA6
y
( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2
son identidades (aunque sus miembros estén separados por
símbolos diferentes, un guiño del profesor): se satisfacen para cualquier valor
real elegido para las letras Y ó DA, a
y b. No sucede lo mismo con la expresión
a + b = 7,
que tiene infinitas –¡pero no todas!– soluciones. El ejemplo
gana en "luminosidad" cuando nos detenemos en la ecuación
a + 2 = 7,
que tiene solución única: sólo puede ser verdad cuando a =
5. Ningún otro valor para la incógnita a podría
nunca satisfacer la ecuación.
Tal es la naturaleza de este objeto matemático que llamamos
"ecuación"; es como una cerradura que sólo pudiera girar con una llave
concreta, cierta y determinada, o bien con cualquier elemento de un conjunto de llaves que
compartan todas ellas una determinada cualidad numérica. Es verdad que la ecuación es
sólo una representación teórica, como el triángulo isósceles en trigonometría o el
plano inclinado de los físicos; y no tiene corazón, ni modifica sus cualidades con el
paso de los siglos. Pero sólo puede vivir en el mundo teórico al que pertenece.
Ahora, retomando nuestro tema, calculo el valor de la matriz jacobiana
evaluada en cada uno de los cuatro puntos que he elegido. En realidad, me basta con uno.
Lo que quiero averiguar es "si el jacobiano es de rango completo m",
cuál es el orden del determinante de la matriz jacobiana del sistema evaluada en algún
punto que lo satisfaga. Nótese bien que, antes de saber si puedo reescribir sin modificar
un ápice su significado –para lo cual ha de verificarse la denominada hipótesis
jacobiana
x1 x2 = 1 con x1
= 1/x2,
una operación aparentemente tan simple, inocente y rutinaria-, he
restringido mi conjunto de números reales representados por x1
y x2 a aquellos tales que su producto vale 1 (no pierda
de vista que el cero está excluido). Esto quiere decir que, limitándonos a ese
subconjunto de pares de números reales (x1 , x2)
tales que x1 x2 = 1, la ecuación se
convierte en x1 x2 = 1. Si
alguien nos dijese ahora «tengo aquí x1 = 1 y x2
= 6, ¿qué obtengo al introducirlos en tu función?», le tendríamos que
decir que no sabemosNOTA7.
Lo mismo sucedería si alguien se presentase con un par de números que fuesen
irracionales, o con uno nada másNOTA8,
con 271/2, por ejemplo, o con p, ¡qué decir de
(-6)1/2! Evidentemente, desde el punto de vista puramente matemático, si
admitimos las soluciones del sistema en el cuerpo de los números reales (o de los
complejos para el último caso), no hay nada que decir, pero podemos restringir las
soluciones al subconjunto de los números racionales. ¡Se trata de una limitación más
que superlativa! Lo digo porque es típico de un cierto tipo de "economistas"
derivar, de tan reducidísimos casos particulares, previamente preparados y acordes con su
sentir, prescripciones universales de política económica que a todos nos afectan -muchas
veces de modo fatal, y casi diríase ineluctable-, y lo presentan como algo, no ya
necesario, sino imprescindible, muy bien elaborado y muy elevado, que sólo se deja
conocer por sus privilegiadas cabezas, cuando es sólo producto de la estrechez de sus
planteamientos, de la reducidísima e irreal colección de sus supuestos de partida. Es
típico del profesor de teoría económica dirigirse al auditorio y decir –antes de
llenar diez o doce pizarras sin demasiado rigor, y fingiendo que cree hacerse pasar por
alguien que sabe algo fundamental que los demás ignoramos– que va a hacer dos o tres
simplificaciones muy concretas que sabe que no son verdad (habitualmente son tres
despropósitos vitales que brotan naturalmente de su sentir de buen burgués, de su
posmodernidad manifiesta, diría quizá McCloskey), pero que son necesarias para
poder avanzar. Después aburre miserablemente al auditorio que, a veces, ni finge
seguirle, y acaba concluyendo –ya ha perdido la humildad inicial de sus
"supuestos" y se torna soberbio de mala ley– en qué dirección concreta ha
de orientarse la política económica del futuro.
Como el jacobiano tiene rango completo, se cumple la hipótesis
jacobiana. Luego, tanto x1 como x2
son –o pueden ser– variables endógenas. Ahora bien, si queremos resolver,
estamos en la obligación ineludible de fijar, en primer lugar, un valor, bien para x1,
bien para x2. La elección de la variable fijada
convierte a ésta, automáticamente, en variable exógena del modeloNOTA9, en el caballo que pongo delante
de mi carreta. Luego, determino su valor arbitrariamente, porque sí, porque me apetece.
Es un valor que me saco convenientemente de la manga y coloco sobre la mesa a la vista de
todos, como si fuese un mago profesional con su reloj rectangular de números romanos y su
paquete de americanos.
El público no dice nada.
Parece que da igual, que no tiene mayores repercusiones ni significado
elegir, como variable exógena o predeterminada, x1 ó x2;
que me da igual a que b; 4 que 40. Pues
no. Es tan distinto como poner la carreta delante o detrás de los bueyesNOTA10 –poner el carro delante del
caballo puede ser fatal, tanto como tomar el rábano por las hojas-. ¿Cuando llueve,
la gente saca el paraguas o, cuando la gente saca el paraguas, llueve? Este es un ejemplo
que el profesor Arellano nos dijo ponía Hicks al tratar la dependencia estadística y la
causalidad, o la correlación y la dependencia. Recuerde que "correlación no implica
dependencia, pero dependencia sí implica correlación". Ahora bien, recuerde
también que la correlación que mide el famoso R2 es de tipo
lineal, como la autocorrelación que detecta el test de Durbin-Watson. Y no de otro tipo.
Así, dos variables, convenientemente aisladas del resto del mundo material e inmaterial,
pueden presentar una perfecta correlación cuadrática, como x e y
en y = x2, y, sin embargo, su R2
será estadísticamente igual a ceroNOTA11, y los contrastes estadísticos
para detectar la multicolinealidad fundamentados en el coeficiente de
correlación de Pearson, r, que hasta donde yo sé son todos, tendrán
un error de tipo I de tamaño colosal. Pues bien, en casos tales como el
de la lluvia y el paraguas, que son los propios del mundo económico, no es en absoluto
igual decir x1 = 1/x2 que x2
= 1/x1. No nos hallamos en el mundo propio de la mecánica
clásica, en el cual hemos definido un sistema inercial, un punto fijo y perfectamente
inmóvil e invariable –como el "stock" áureo del planeta, que
apenas cambia con el paso de los siglos– al cual referirlo todo. Nadie sabe muy bien
qué pueda ser eso que llamamos la cantidad nominal de dinero. Por eso, la definimos
primero. Al hacerlo, todo el mundo rehace sus carteras y altera sus posiciones, y no se
sabe muy bien si lo hacen porque ha cambiado la definición legal de dinero o por razones
que nada tienen que ver con tal modificación, o por una "mezcla" harto mal
conocida y peor formulada de ambas razones. Y los llamados economistas vuelven a escribir
otra ecuación y a tratar de estimar sus parámetros, que "se mueven más que los
precios", a la manera de decir de "Chiquito de La
Calzada"NOTA12. ¡Porqué son
variables aleatorias! –gritará quizá alguien. Ésta es la ley de Goodhart, según
la cual «sea cual sea el agregado monetario que se elija como variable
objetivo, quedará distorsionado por el sólo hecho de haber sido elegido.»
«Puesto que las leyes empíricas de la física
–nos dice la Enciclopedia Británica– no dependen de una especial o
accidental elección de marcos de referencia seleccionados para representar relaciones
físicas y configuraciones geométricas, el análisis vectorial constituye una herramienta
ideal para el estudio del universo físico. La introducción de un marco de referencia
especial o sistema de coordenadas establece una correspondencia entre vectores y conjuntos
de números que representan componentes de vectores en ese marco, y permite inducir leyes
concretas para operar con esos conjuntos de números, leyes que se derivan de las que
rigen para operar con segmentos de recta».
En el mundo de Euclides todo encaja a la perfección. No hay curvas. O,
más propiamente, todas las curvas son rectas, como en Castilla. Por eso llega a
resultados tan infalibles e impepinables. Sus hipótesis de partida se lo permiten.
Sin embargo, cuando abandonamos el mundo propio del álgebra lineal y
de las variables independientes u ortogonales y decidimos introducir una ecuación
aparentemente muy simple –y que no lo es tanto, pues ya no es lineal– como x1
x2 = 1, el mundo incontestable y determinista de las
matemáticas elementales se aleja de nosotros a velocidad de crucero, y nuestro nuevo
puerto se ha convertido en un lugar ajeno y extraño, en el que nuestras viejas certezas
han perdido su validez y su vigencia. Y el suelo se mueve al andar; y nuestra estructura
ósea se transforma en una especie de pegamento chicloide siempre renuente a la
petrificación propia del mundo clásico. ¿Qué hacer? ¿Mirar hacia atrás y tener fe en
lo desconocido y aprender a vivir deportivamente –abandonando el concepto burgués de
la existencia–, a disfrutar, a no lamentarnos mientras nos internamos por el lado
difícil y problemático de las cosas, que será con seguridad al final la forma más
cómoda y económica de vivir? Creo que Quevedo –el retorcido cojo, como le llamaba
Ortega– pensaría así.
Supongamos entonces que Quevedo es un economista y que recurrimos a él
para predecir la evolución del tipo de cambio euro/dólar. ¿Es esto intolerable o
acertado? Es pasar ya de castaño oscuro. «Se pierde usted –mi profesor parece
haberse enfadado conmigo–, lo mezcla todo; es usted anárquico, tanto en sus
planteamientos como en su ejecución. Parece usted español. Vuelva inmediatamente al
mundo ordenado, aunque no muy preciso, de los diagramas de fases, en el que, si bien no
todo es del todo predecible, hay poco sitio –¿poco sitio?– para el azar y la
sorpresa; a lo mejor las dos categorías de mayor impacto director en el devenir
económico de pueblos, personas y culturas, y hasta enteras civilizacionesNOTA 13. Cíñase usted al programa, al
triste y aburrido programa aprobado por el Ministerio de Educación, y prostitúyase con
naturalidad pasmosa, como si fuese un profesor de universidad.»
Continuará...
Notas
NOTA 1: Lo estático es un caso particular
de lo dinámico, y no al revés (véase Schumpeter, 1954 ["History of Economic
Analysis", twelfth impression, 1981], p. 964 [Traduc. castellana, 1971, p. 1050]).
NOTA 2: He elegido los puntos A, B, C y D del
tipo P = (x1 , x2 ).
Así, A = (½, 2); B = (¼ , 4); C = (5, 1/5) y D = (1, 1).
NOTA 3: Si un punto satisface sólo una
de las ecuaciones, el sistema no tendría solución: nos hallaríamos ante dos
afirmaciones contradictorias o incompatibles, ante dos sistemas de una sola ecuación,
pues no hay que olvidar que una ecuación es un caso particular de sistema: aquél en el
que m = 1, siendo m el número de ecuaciones que lo conforman (n
representa su número de incógnitas o variables; n = 2 en nuestro ejemplo).
NOTA 4: Si la solución no es única (teorema
fundamental del álgebra para sistemas lineales) el sistema tiene infinitas soluciones, o
dicho de otro modo, si hay 2 soluciones, hay también infinitas soluciones. El teorema
fundamental del álgebra asegura que cualquier sistema lineal con tantas ecuaciones como
incógnitas (m = n), si tiene solución, es única, a menos que
alguna de las ecuaciones dependa linealmente de otra u otras de las ecuaciones del
sistema. Esto sucede en los sistemas lineales, pero, ¿y en los no lineales (por ejemplo: x
+ y = 7; x y = 5)?; ¿y en los sistemas de ED
(ecuaciones en diferencias) y de Ed (ecuaciones diferenciales) –los sistemas
propiamente dinámicos–? Según explican De Grauwe, Dewachter y Embrechts, en la
página 3 de su libro de 1993 Exchange Rate Theory, los sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales –supongo que homogéneas, porque, en caso contrario, creo que
nos quedamos sin teoría, aunque haya gente tan brillante en el MIT– obedecen el principio
de superposición, de modo que si A y B
son soluciones de una Ed, entonces A + B también lo es.
¿Y qué hay de
2 A + B ó de k A + B,
para todo número real k? La respuesta es "sí" si se
trata de una EdLH (Ecuación diferencial lineal homogénea). Si la ecuación es no
homogénea, A podría ser solución de la ecuación sin termino
independiente (parte homogénea) y B una solución de la ecuación
completa (no homogénea):
k A + B sería entonces solución de la
ecuación completa (no homogénea).
Luego, si la solución de la ecuación algebraica no es única, el
sistema tiene infinitas soluciones, sea cual fuere el tipo de sistema, siempre que sea
lineal.
NOTA 5: ln -2 = x
es una ecuación sin solución; 0 x = 23, otra (un poco
artificiosa, pero eso son las matemáticas, puro artificio; otra cosa es que nos puedan
llevar muy lejos, que sean utilísimas y hasta imprescindibles).
NOTA 6: Esta identidad, en la que Y
representa el PIB y DA la "demanda agregada", esconde
detrás una teoría revolucionaria debida a John Maynard Keynes. Pura retórica sin mayor
valor científico para unos, y santo sacramento de una nueva fe, para otros; es tan famosa
en economía como en física la ecuación –que no identidad– E = m c2.
NOTA 7: Le diríamos que estamos en otra curva de
nivel. No sea usted tan listo.
NOTA 8: Si se trata sólo de uno de los dos
números o factores, basta con multiplicar por su inverso para conseguir un 1. Esto es
obvio, como es obvia la distinción entre un número real y un número racional. Todo es
obvio cuando se sabe y un misterio cuando se ignora o no se recuerda bien. Por eso, éste
es un trabajo plagado de notas. Todo número racional es real, pero no todo número real
es racional. No puede decirse lo mismo de las personas, de donde se deduce que las
personas no son números. Es ésta una deducción tan elemental, que uno duda de que sea
una verdadera deducción y no una repetición sin más, una tautología o una
perogrullada. Pero la gimnasia es así. Hay que calentar un poco.
NOTA 9: Habitualmente un modelo económico es algo más que
una sola ecuación. Suele ser una colección de metáforas y un cubilete con dos dados.
Aunque es más normal que se componga de:
-una identidad contable,
-una ecuación de comportamiento,
-dos variables de ajuste.
NOTA 10: Mettre la charrue avant les
bœufs. To put the cart before the horse .
NOTA 11: Lo he leído en el libro de Johnston & DiNardo Econometric
Methods (1997).
NOTA 12: Memorable humorista español que saltó a la fama
en la segunda mitad de la década de los 90 y a quien la gente profesa gran cariño y
reconocimiento.
NOTA 13: Y aquí llegamos al gran debate de la ciencia
macroeconómica actual. ¿Es realmente una variable económica función del tiempo? ¿O
somos nosotros los que, al suponerlo así, se lo "exigimos" para poder aplicar
nuestra limitada y primitiva teoría de ecuaciones diferenciales, olvidándonos luego de
que hemos sido nosotros, por nuestra imposibilidad o incapacidad de hacer algo mejor,
quienes hemos introducido esa limitación?
